Insieme al tempo

Un insieme nasce dopo i suoi elementi. Sembra un’ovvietà; è invece la chiave che tiene insieme tutto questo libro — e basta, da sola, a sbarrare la strada alle antinomie: nulla può precedere sé stesso. La matematica non è un edificio dato una volta per tutte. Si distende nel tempo del pensiero, stadio dopo stadio.

Da due soli concetti primitivi — l’insieme e la funzione — questo volume ricostruisce su un’unica base l’intero edificio, in sei Parti: aritmetica e logica; geometria; algebra astratta e l’arco dell’analisi, percorsa sui due binari, standard e non standard; le varietà; la fisica matematica; il calcolo e la computazione. Dal contare all’ottimizzare. Lo sguardo categoriale resta trasversale: la freccia — del tempo, della funzione, del morfismo — è il filo che lega.

Quel che altrove si annuncia, qui si dimostra. I numeri reali non sono postulati: nascono dalla misura dei segmenti, per la via di Eudosso e di Hölder; la categoricità del campo reale è un teorema, e il prodotto di due lunghezze si rivela essere un’area. Le geometrie non euclidee sono costruite: quattro modelli, e l’indipendenza del quinto postulato dimostrata. La teoria dei numeri arriva al teorema dei numeri primi e agli ideali di Dedekind; la geometria algebrica, a Riemann–Roch.

E si esercita: 3396 esercizi svolti per intero, 669 controesempi che mostrano che cosa accade quando un’ipotesi cade, un’appendice che porta la stessa disciplina su un problema aperto, la congettura di Goldbach. È un libro che prende posizione: l’intuizione è l’antenna, non la stazione trasmittente; e dove, ai confini dell’infinito, l’intuizione tace, il libro lo dichiara invece di nasconderlo.